ما هي مفارقة عيد الميلاد ؟

ما هي معضلة عيد الميلاد ؟

لو فكرنا في كل الأيام التي من الممكن أن نحتفل بها بعيد ميلادنا - متضمناً 29 شباط ( فبراير ) الذي يعود مرة كل 4 سنوات - لكان هناك 366 يوماً محتملاً لميلادك. لو قابلت شخصاً في الشارع، فما احتمال أن تتشاركا يوم الميلاد نفسه ( اليوم والشهر وليس السنة )؟

ليس احتمالاً مطروقاً، أليس كذلك؟ لذا لو صدف وقابلت أحدهم وكان يشاركك يوم الميلاد نفسه فإن أول ما سيخطر ببالك كم أن هذه المصادفة نادرة.

اذن، كم عدد الناس الذين عليك جمعهم في غرفة واحدة حتى تضمن على الأقل أن ما احتماله 50% أن يتشارك اثنان تاريخ الميلاد نفسه؟

قد تظن أن عليك جمع 183 شخصاً - نصف 366 - على الأقل لتحصل على هذا. لكن، هل تصدق أن عليك فقط أن تجمع 23 شخصاً لتحصل على احتمال 50% أن يتشارك اثنان في تاريخ الميلاد نفسه؟ هل يبدو هذا مستحيلا؟

ربما، لكنه صحيح!. إن هذه معضلة رياضية تسمى معضلة عيد الميلاد.

بالتأكيد هي ليست معضلة منطقية تماماً - لأنه لا يمكن عكسها - لكنها غريبة لذا تسمى معضلة - أو تناقض - عيد الميلاد.

لن ندخل في التعقيدات الرياضية، وسنفترض أن هناك 365 يوماً محتملاً لعيد ميلاد أي منا. اذا دخلت غرفة فيها 22 شخصاً فإن أول ما سيخطر ببالك هو أن احتمال أن تجد شخصاً يحمل نفس تاريخ ميلادك هو 365 - 22= 343.

دعونا نرى الأمر بصورة مختلفة : فبدلاً من مقارنة عيد ميلاد كل منهم على حدة، دعونا نقارن عيد ميلاد كل منهم مع غيره في الغرفة ( بدلاً من مقارنته بـ 365 يوم في السنة ).

وعليه فالأول سيقارن يومه بـ 22 يوم آخر والثاني بـ 21 يوم ميلاد آخر والثالث بـ 20 يوم وهكذا. لو جمعنا كل هذه المقارنات ( 22 + 21 + 20 + … +1 )، هذا سيعطينا 253 زوج من الاحتمالات ( هناك معادلة رياضية لهذا ) وهذا سيعطينا احتمالية أكبر أن نجد اثنين متشابهين.

كما اتفقنا، لن تغوص في التعقيدات الرياضية، لكن احتمال عيد ميلاد الشخص الأول 365/365، والثاني 364/365، وهكذا، اذا وصلنا الشخص 23 فإن احتماله 343/365. رياضياً لو قمنا بضرب كل الاحتمالات الثلاث والعشرين الناتجة سنحصل على احتمال = 0.491

وفي قوانين الاحتمالات 1 - 0.491 = 0.509 ، أي أن ما نسبته 50.9% هو احتمال أن يكون هناك اثنان ضمن الـ 32 شخصاً يحملان التاريخ نفسه.

ما هو شريط موبيوس Mobius Strip ؟

ما هو شريط موبيوس Mobius Strip ؟

هل تتذكرون ما تعلمناه في المدرسة عن المالانهاية؟ يعرف معظمنا الرمز الرياضي الدال على المالانهاية Infinity، والذي يُدعى Lemniscate. هل تعرفون أيضًا أن هذا الرمز يشبه شكلاً حقيقيًا يمكن صنعه على أرض الواقع؟ نعم، إنه شريط موبيوس!

سمي شريط موبيوس نسبة إلى الرياضي والفلكي أوجست فرديناند موبيوس، الذي توصل إلى الفكرة عام 1858. وإمعانًا في الغرابة، فإن عالم الرياضيات الألماني يوهان بنديكت ليستنغ توصل إلى الفكرة نفسها بشكل مستقل في العام ذاته، ولسوء حظ ليستنج فإن الشريط الشهير سمي باسم موبيوس وليس ليستنج.

ما المهم في هذا الشريط على اية حال؟

شريط موبيوس هو شريط ذو مبدأ بسيط للغاية: شريط واحد، ذو بعدين، مسطح، نقوم بلف أحد طرفيه بمقدار 180° ثم نلصقه بالطرف الآخر، مما يحوله إلى شريط ذي وجه واحد، وحافة واحدة. أي إنه لو وضعت نملة عليه، ستمشي فوق الشريط وتعود إلى النقطة التي بدأت منها دون أن تقطع إحدى حوافه، لأنه تحول إلى شريط ذي وجه واحد فقط.

عندما أحضرنا الشريط الورقي المسطح فإن هذا يعني ضمنًا أن له وجهين، وجهًا من الأعلى ووجهًا من الأسفل، وهذا ما يطلق عليه Orientable، أي إنه يمكن تحديد اتجاهين للسطح (أعلى وأسفل هنا). لكن شريط موبيوس الناتج له وجه واحد!

السطح الـ orientable هو الذي يمكننا فيه، بشكل متسق، تحديد «جهة» أو اتجاه للسطح. في الشريط العادي تستطيع أن تقول باستمرار: هذا الوجه هو الأعلى وهذا هو الأسفل. أما في شريط موبيوس، إذا مشيت حوله ستجد أن ما كان «أعلى» أصبح «أسفل».

لا تستطيع تصديق ذلك؟ ضع قلمك على الشريط الذي صنعته وارسم خطاً ، ستجد أن خطك قد مر على وجهي الشريط دون ان ترفع قلمك، ثم عاد الى نقطة البداية!.

هل لشريط موبيوس تطبيقات عملية؟

نعم، فبالإضافة إلى أنه بدأ كمفهوم رياضي، فإن مبدأه الهندسي استُخدم في تطبيقات عملية، ومنها الأحزمة الناقلة.

لكن لماذا تصمم بعض الأحزمة الناقلة على شكل شريط موبيوس؟ ببساطة لزيادة عمرها التشغيلي؛ حيث سيتوزع الاهتراء على سطح الشريط كله بدل أن يتركز على أحد وجهيه فقط. ونفس المبدأ استُخدم في الأشرطة المستخدمة في الطابعات وآلات التسجيل وآلات الكتابة.